В треугольнике KPN высота PM делит основание KN так, что KM:MN = 9:5

Определи соотношение площадей Skpn/Spmn

Я-Класс! Помогите))

Для решения задачи нам нужно найти соотношение площадей треугольников $S_{KPN}$ и $S_{PMN}$.

1. Предположения и обозначения: Пусть в треугольнике $KPN$ точка $M$ — это основание высоты $PM$, которая перпендикулярна к основанию $KN$. По условию задачи, высота $PM$ делит основание $KN$ на два отрезка так, что $KM:MN = 9:5$.

2. Как это влияет на площади? Площадь треугольника пропорциональна его основанию и высоте. В данном случае высота $PM$ общая для двух треугольников $KPM$ и $PMN$, поскольку это высота треугольника $KPN$. Таким образом, площади треугольников $KPM$ и $PMN$ пропорциональны основаниям $KM$ и $MN$ соответственно.

   То есть:

   $$\frac{S_{KPM}}{S_{PMN}} = \frac{KM}{MN}.$$

   Из условия задачи известно, что $KM:MN = 9:5$, следовательно:

   $$\frac{S_{KPM}}{S_{PMN}} = \frac{9}{5}.$$

3. Площадь всего треугольника $KPN$: Площадь всего треугольника $S_{KPN}$ будет суммой площадей треугольников $KPM$ и $PMN$. Таким образом:

   $$S_{KPN} = S_{KPM} + S_{PMN}.$$

   Подставим соотношение между площадями $S_{KPM}$ и $S_{PMN}$:

   $$S_{KPN} = \frac{9}{5} S_{PMN} + S_{PMN}.$$

   Это можно привести к общему знаменателю:

   $$S_{KPN} = \frac{9}{5} S_{PMN} + \frac{5}{5} S_{PMN} = \frac{14}{5} S_{PMN}.$$

4. Соотношение площадей $\frac{S_{KPN}}{S_{PMN}}$: Теперь, чтобы найти искомое соотношение площадей, делим площадь треугольника $KPN$ на площадь треугольника $PMN$:

   $$\frac{S_{KPN}}{S_{PMN}} = \frac{\frac{14}{5} S_{PMN}}{S_{PMN}} = \frac{14}{5}.$$

Ответ: соотношение площадей треугольников $S_{KPN}$ и $S_{PMN}$ равно $14:5$.