На окружности с центром O отмечены точки А и В так, что угол АОВ 12 градусов Длина меньшей дуги АВ равна 96 Найдите длину большей дуги

Для того чтобы найти длину большей дуги, давайте разберемся шаг за шагом:

1. Угол между радиусами: У нас есть угол ∠AOB, равный 12 градусам. Этот угол — это центральный угол, который определяет, какую часть окружности занимает дуга AB.

2. Меньшая дуга AB: Из условия задачи известно, что длина меньшей дуги AB равна 96 единиц длины. Меньшая дуга — это дуга, которая соответствует углу в 12 градусов.

3. Полная длина окружности: Площадь (длина) всей окружности можно вычислить по формуле:

   $$L = 2 \pi R$$

   где $R$ — радиус окружности.

4. Длина меньшей дуги: Длина дуги пропорциональна центральному углу, который её определяет. Если угол составляет 12 градусов, то длина дуги AB будет пропорциональна этой величине. Полный круг — это 360 градусов, и если меньшая дуга соответствует углу 12°, то её длина составит 12/360 от всей длины окружности.

   Математически это выглядит так:

   $$\frac{\text{длина меньшей дуги}}{\text{длина всей окружности}} = \frac{12}{360}$$

   Таким образом, длина меньшей дуги будет:

   $$96 = \frac{12}{360} \times 2 \pi R$$

   Преобразуем уравнение, чтобы найти радиус $R$:

   $$96 = \frac{1}{30} \times 2 \pi R$$ $$96 \times 30 = 2 \pi R$$ $$2880 = 2 \pi R$$ $$R = \frac{2880}{2 \pi} = \frac{2880}{6.2832} \approx 458.36$$

5. Длина всей окружности: Теперь, зная радиус $R \approx 458.36$, можем найти длину всей окружности:

   $$L = 2 \pi R \approx 2 \pi \times 458.36 \approx 2878.5$$

6. Длина большей дуги: Поскольку большая дуга — это оставшаяся часть окружности, которая соответствует углу 360° - 12° = 348°, длина большей дуги будет составлять:

   $$\text{длина большей дуги} = \frac{348}{360} \times L = \frac{348}{360} \times 2878.5 \approx 2802.5$$

Таким образом, длина большей дуги окружности равна примерно 2802.5 единиц длины.