Из точки М, лежащей вне окружности с центром О и радиусом R, проведены касательные МА и МВ (А и В - точки касания). Прямые ОА и МВ пересекаются в точке С. Найдите ОС, если известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам.

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных и геометрией окружности.

1. Условия задачи:

   • Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
   • Точка $M$ лежит вне окружности, и из неё проведены касательные $MA$ и $MB$ к окружности, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$.
   • Прямые $OA$ и $MB$ пересекаются в точке $C$.
   • Известно, что отрезок $OM$ делится окружностью пополам, то есть длина отрезка $OM$ равна диаметру окружности, то есть $OM = 2R$.

2. Основные свойства:

   • Отрезки, соединяющие внешнюю точку с точками касания окружности, равны между собой. То есть: $$MA = MB$$
   • Также из теоремы о касательных (теорема о касательной и секущей) известно, что произведение отрезков касательной и секущей равно квадрату расстояния от центра окружности до касательной: $$OM^2 = OA^2 + AM^2$$ где $OA = R$ (радиус окружности).

3. Использование данных о делении отрезка $OM$: В условии сказано, что отрезок $OM$ делит окружность пополам. Это может означать, что точка $M$ лежит на прямой, проходящей через центр окружности $O$ и точку касания окружности, то есть точка $M$ лежит на оси, проходящей через $O$. Следовательно, отрезок $OM = 2R$, и таким образом мы можем использовать его в дальнейшем решении.

4. Поиск точки пересечения $C$: Для нахождения расстояния $OC$ нужно использовать свойство того, что точка $C$ является точкой пересечения касательных. Из теоремы о касательных и центры окружности можно доказать, что:

   $$OC = R$$

   Это связано с тем, что точка $C$ лежит на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной к касательной.

Таким образом, искомое расстояние $OC$ равно радиусу окружности, то есть $OC = R$.