В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64 и CH=16. Найдите cosB.

Задача заключается в нахождении значения косинуса угла $B$ в треугольнике $ABC$, при этом известно, что $AB = BC$, и высота $AH$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 64$ и $CH = 16$.

Шаг 1: Известные данные

• $AB = BC$, то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный.
• Высота $AH$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BH = 64$ и $CH = 16$. То есть $BH + CH = BC$, и получается: $$BC = 64 + 16 = 80.$$
• Высота $AH$ является перпендикуляром к стороне $BC$.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники

Поскольку $AB = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота $AH$, опущенная из вершины $A$, делит его на два прямоугольных треугольника — $ABH$ и $AHC$.

1. Треугольник $ABH$ прямоугольный, так как $AH \perp BC$.
2. Треугольник $AHC$ также прямоугольный.

Так как $AB = BC$, то мы можем найти длину стороны $AB$ (которая равна $BC = 80$) через теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников.

Шаг 3: Применение теоремы Пифагора

Для треугольника $ABH$:

• $AB = 80$,
• $BH = 64$,
• $AH$ — высота, которую нам нужно найти.

Применяем теорему Пифагора в треугольнике $ABH$:

Подставляем известные значения:

Итак, высота $AH = 48$.

Шаг 4: Нахождение угла $B$

Теперь, зная все необходимые длины сторон в треугольнике, можно найти косинус угла $B$. Рассмотрим треугольник $ABH$, в котором мы уже знаем:

• $AB = 80$,
• $AH = 48$,
• $BH = 64$.

Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике $ABH$:

Таким образом, значение $\cos B$ равно $\frac{4}{5}$.