дан треугольник АВС. плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает продолжение стороны АС этого треугольника в точке М, а сторона ВС в точке N. найдите длину отрезка MN, если AB = 7, MC : AC = 3 : 7

Рассмотрим треугольник $ABC$ и плоскость, параллельную прямой $AB$, которая пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $M$ и сторону $BC$ в точке $N$. Даны следующие условия:

• $AB = 7$,
• отношение $MC : AC = 3 : 7$.

Наша цель — найти длину отрезка $MN$.

Шаг 1: Разобьем сторону $AC$ на части

Сначала используем данное отношение $MC : AC = 3 : 7$. Это означает, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в соотношении 3:7. Пусть длина отрезка $AC = x$. Тогда:

• $MC = \frac{3}{10}x$,
• $AM = \frac{7}{10}x$.

Шаг 2: Определим координаты точек

Предположим, что треугольник $ABC$ лежит на плоскости с выбранной системой координат.

• Пусть точка $A$ находится в начале координат, то есть $A = (0, 0)$,
• Точка $B$ находится на оси $x$, так как $AB = 7$, то есть $B = (7, 0)$,
• Точка $C$ имеет координаты $C = (x_C, y_C)$, где $x_C$ и $y_C$ — неизвестные.

Шаг 3: Используем свойства параллельности прямых

Плоскость, параллельная прямой $AB$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Параллельность прямых $AB$ и $MN$ означает, что они имеют одинаковый наклон. Таким образом, отрезок $MN$ будет параллелен прямой $AB$, и их наклоны будут одинаковыми. Так как прямая $AB$ горизонтальна (наклон равен 0), то и отрезок $MN$ будет горизонтальным. Следовательно, координаты точек $M$ и $N$ будут иметь одинаковую $y$-координату.

Шаг 4: Используем подобие треугольников

Так как прямые $AB$ и $MN$ параллельны, а плоскость пересекает стороны $AC$ и $BC$, то получаются два подобных треугольника: $\triangle ABC \sim \triangle MNC$. Это свойство позволяет нам записать пропорции для соответствующих сторон:

Подставляем известные значения:

Шаг 5: Находим длину отрезка $MN$

Теперь можем найти длину отрезка $MN$:

Таким образом, длина отрезка $MN$ равна $2.1$.