Диагональ прямоугольного параллелепипеда с плоскостью основания образует угол 45°, стороны основания равны 7 и 24 см.
Вычисли высоту параллелепипеда.

Рассмотрим задачу, где необходимо найти высоту прямоугольного параллелепипеда. Дано:

• Плоскость основания представляет собой прямоугольник со сторонами $a = 7 \, \text{см}$ и $b = 24 \, \text{см}$;
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда с плоскостью основания образует угол $45^\circ$.

Обозначим:

• $h$ — высота параллелепипеда (то, что нужно найти);
• $d$ — диагональ основания;
• $D$ — пространственная диагональ параллелепипеда.

1. Вычислим диагональ основания $d$

Поскольку основание — прямоугольник, диагональ основания находится по теореме Пифагора:

Подставим значения $a = 7 \, \text{см}$ и $b = 24 \, \text{см}$:

Таким образом, диагональ основания $d = 25 \, \text{см}$.

2. Связь пространственной диагонали и высоты

По условию диагональ всего параллелепипеда образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Это значит, что угол между пространственной диагональю $D$ и диагональю основания $d$ равен $45^\circ$.

Из геометрии следует, что при угле $45^\circ$ выполняется следующая связь:

где $h$ — высота параллелепипеда, а $d$ — диагональ основания.

Поскольку $\tan 45^\circ = 1$, то:

Отсюда:

3. Найдём высоту $h$

Мы уже посчитали, что диагональ основания $d = 25 \, \text{см}$. Следовательно:

Ответ:

Высота параллелепипеда равна 25 см.