Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный: а)А1А+C1D1+BC+DB1 б)AD-A1C

Давайте подробно разберем, как определить результат векторов в заданных выражениях для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Обозначения и базовые свойства:

1. Параллелепипед состоит из двух оснований (нижнего $ABCD$ и верхнего $A_1B_1C_1D_1$), соединенных боковыми гранями.
2. Вектора, соединяющие вершины, можно представить через базовые вектора параллелепипеда, которые обозначим как:
   • $\vec{a} = \vec{AB}$,
   • $\vec{b} = \vec{AD}$,
   • $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Все остальные вектора можно выразить через $\vec{a}$, $\vec{b}$, и $\vec{c}$.

Часть а) $\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{BC} + \vec{DB_1}$

Расписываем каждый вектор через базовые:

1. $\vec{A_1A}$: этот вектор направлен из верхней вершины $A_1$ к нижней вершине $A$, то есть противоположен $\vec{AA_1}$.

   $$\vec{A_1A} = -\vec{c}.$$

2. $\vec{C_1D_1}$: этот вектор направлен внутри верхнего основания от $C_1$ к $D_1$. Он соответствует направлению $\vec{CD}$, то есть:

   $$\vec{C_1D_1} = \vec{b}.$$

3. $\vec{BC}$: этот вектор лежит в нижнем основании и направлен из $B$ в $C$. Он соответствует направлению $\vec{AB}$, то есть:

   $$\vec{BC} = \vec{a}.$$

4. $\vec{DB_1}$: этот вектор направлен из $D$ (нижнее основание) в $B_1$ (верхнее основание). Он равен сумме:

   $$\vec{DB_1} = \vec{DB} + \vec{BB_1} = -\vec{a} + \vec{c}.$$