На рисунке ABCD-ПРЯМОУГОЛЬНИК
DH перпендикуляр к AC
Сторона AB в 2 раза меньше стороны ВС
Найдите DH,если AC=10см

Чтобы найти длину DH, используем свойства прямоугольника и геометрические соотношения.

Дано:

1. ABCD — прямоугольник.
2. DH перпендикулярна AC.
3. AB в 2 раза меньше, чем BC.
4. AC = 10 см.

Решение:

1. Обозначим стороны прямоугольника:

   • Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$ (по условию).

2. Найдем диагональ AC: В прямоугольнике диагональ выражается через стороны с помощью теоремы Пифагора:

   $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}.$$

   Подставим $AB = x$ и $BC = 2x$:

   $$AC = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{x^2 + 4x^2} = \sqrt{5x^2} = \sqrt{5}x.$$

   По условию $AC = 10$, значит:

   $$\sqrt{5}x = 10.$$

   Найдем $x$:

   $$x = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}.$$

   Таким образом, $AB = x = 2\sqrt{5}$, а $BC = 2x = 4\sqrt{5}$.

3. Положение точки DH и связь с AC: DH перпендикулярна AC. Поскольку AC — диагональ, она делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, а DH является высотой из вершины D на гипотенузу AC.

4. Формула для высоты в прямоугольном треугольнике: Высота, проведённая к гипотенузе, выражается через её длину и произведение катетов:

   $$DH = \frac{AB \cdot BC}{AC}.$$

5. Подставим значения:

   $$DH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{(2\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5})}{10}.$$

   Упростим:

   $$DH = \frac{8 \cdot 5}{10} = \frac{40}{10} = 4.$$

Ответ:

Длина DH равна 4 см.