К окружности с центром О из точки С проведена касательная СЕ. Найти радиус окружности, если угол СОЕ равен 60 градусов и расстояние между точками О и С равно 18 см.

Рассмотрим задачу шаг за шагом:

1. Дано:

   • Центр окружности $O$.
   • Точка $C$ лежит вне окружности, и расстояние от точки $C$ до центра $O$ равно 18 см ($OC = 18$ см).
   • Из точки $C$ проведена касательная $CE$ к окружности.
   • Угол между радиусом, проведённым к точке касания, и линией $CE$, равен $60^\circ$ ($\angle COE = 60^\circ$).

2. Необходимые геометрические свойства:

   • Радиус, проведённый к точке касания $E$, перпендикулярен касательной. То есть $OE \perp CE$.
   • Треугольник $\triangle COE$ — прямоугольный, так как $\angle OEC = 90^\circ$.

3. Обозначим:

   • Радиус окружности как $R$ ($OE = R$).
   • Отрезок $OC$ — гипотенуза треугольника $\triangle COE$.

4. Применим тригонометрию: В треугольнике $\triangle COE$ известен угол $\angle COE = 60^\circ$, гипотенуза $OC = 18$, и необходимо найти катет $OE = R$.

   Из определения косинуса:

   $$\cos(\angle COE) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OE}{OC}.$$

   Подставляем значения:

   $$\cos(60^\circ) = \frac{R}{18}.$$

   Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

   $$\frac{1}{2} = \frac{R}{18}.$$

   Умножим обе стороны на 18:

   $$R = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9.$$

5. Ответ: Радиус окружности равен $9$ см.