Дан прямоугольный треугольник. Угол А прямой, угол C равен 30 градусам. Площадь треугольника равна 722√3, Найдите катет лежащий напротив угла C.

Для решения задачи нужно использовать свойства прямоугольного треугольника. Мы знаем, что в данном треугольнике угол $A$ — прямой (90 градусов), угол $C$ равен 30 градусам, а площадь треугольника равна $722\sqrt{3}$.

Шаг 1. Обозначим элементы треугольника

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Угол $A$ прямой, угол $C$ равен 30 градусам, тогда угол $B$ равен 60 градусам (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, и угол $A = 90^\circ$).

Поскольку угол $C$ равен 30 градусам, катет, лежащий напротив этого угла, будет равен $a$, а катет, лежащий напротив угла $B$, будет равен $b$. Гипотенуза $c$ — это сторона, противоположная прямому углу.

Шаг 2. Формулы для прямоугольного треугольника

Для треугольников с углами 30°-60°-90°, есть известные соотношения между катетами и гипотенузой:

• Катет, противоположный углу 30° (то есть $a$) равен половине гипотенузы: $a = \frac{c}{2}$.
• Катет, противоположный углу 60° (то есть $b$) равен $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$.

Также, площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты как:

По условию задачи, площадь треугольника равна $722\sqrt{3}$. Подставим известное выражение для площади:

Так как $a = \frac{c}{2}$ и $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$, подставим эти выражения в формулу площади:

Упростим выражение:

Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$ и получим:

Умножим обе стороны на 8:

Извлечем квадратный корень:

Шаг 3. Нахождение катета, противоположного углу 30°

Мы знаем, что $a = \frac{c}{2}$. Подставим значение $c = 76$:

Таким образом, катет, лежащий напротив угла $C$, равен $38$.