Один из углов прямоугольного треугольника =60 градусов , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. найти гипотенузк

Задача касается прямоугольного треугольника, где один из углов равен 60 градусам, а также дана информация о том, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Нужно найти длину гипотенузы.

1. Обозначения и свойства треугольника: Пусть в треугольнике $ABC$ угол $A = 90^\circ$, угол $B = 60^\circ$, и угол $C = 30^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике всегда 180°). Это прямоугольный треугольник с углом в 60°.

2. Определение сторон треугольника: В прямоугольном треугольнике с углом 60° стороны можно выразить через гипотенузу $c$ (или через другие стороны, если они известны):

   • Гипотенуза $c$
   • Катет, противолежащий углу 30° (меньший катет), равен $\frac{c}{2}$
   • Катет, противолежащий углу 60° (больший катет), равен $\frac{\sqrt{3}}{2}c$

3. Условие задачи: Нам сказано, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см:

   $$c + \frac{c}{2} = 42$$

4. Решение уравнения: Преобразуем уравнение:

   $$\frac{3c}{2} = 42$$

   Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

   $$3c = 84$$

   Разделим обе части на 3:

   $$c = 28$$

5. Ответ: Гипотенуза треугольника равна 28 см.

Проверим, что все верно:

• Меньший катет (против угла 30°) равен $\frac{28}{2} = 14$ см.
• Сумма гипотенузы и меньшего катета: $28 + 14 = 42$ см, что соответствует данному условию задачи.

Таким образом, длина гипотенузы действительно равна 28 см.