Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите высоту этого треугольника, опущенную на гипотенузу.

Для того чтобы найти высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, нужно воспользоваться некоторыми геометрическими свойствами. Давайте пошагово решим задачу.

1. Исходные данные: У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 9 и 40. Требуется найти высоту, опущенную на гипотенузу.

2. Вычисление гипотенузы: Для начала найдем гипотенузу $c$ с помощью теоремы Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   $$c^2 = a^2 + b^2$$

   где $a = 9$, $b = 40$.

   Подставим значения:

   $$c^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$$

   Тогда $c = \sqrt{1681} = 41$.

   Таким образом, длина гипотенузы $c = 41$.

3. Площадь треугольника: Теперь найдем площадь этого треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$

   Подставим значения катетов:

   $$S = \frac{1}{2} \times 9 \times 40 = \frac{1}{2} \times 360 = 180$$

4. Вычисление высоты: Для нахождения высоты, опущенной на гипотенузу, воспользуемся тем, что площадь треугольника можно выразить через гипотенузу и высоту, опущенную на эту гипотенузу. Формула площади будет следующей:

   $$S = \frac{1}{2} \times c \times h$$

   где $c = 41$ — гипотенуза, а $h$ — высота, которую мы ищем.

   Мы уже знаем, что площадь $S = 180$, поэтому подставим эти значения в формулу:

   $$180 = \frac{1}{2} \times 41 \times h$$

   Умножим обе части уравнения на 2:

   $$360 = 41 \times h$$

   Разделим обе стороны на 41:

   $$h = \frac{360}{41} \approx 8.78$$

5. Ответ: Высота, опущенная на гипотенузу, равна примерно $8.78$ единиц.