В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 45 и CH = 30. Найдите cosB.

Задача заключается в нахождении значения косинуса угла $B$ в треугольнике $ABC$, где известно, что $AB = BC$, а высота $AH$ делит сторону $BC$ на два отрезка $BH = 45$ и $CH = 30$.

1. Используем симметрию: Треугольник $ABC$ — это равнобедренный треугольник, так как $AB = BC$. Следовательно, высота $AH$ не только является перпендикуляром к стороне $BC$, но и делит её пополам. Это означает, что $BH = HC$.

   Однако, по условию задачи, $BH = 45$ и $HC = 30$, что противоречит симметрии треугольника. Таким образом, мы делаем вывод, что высота $AH$ делит сторону $BC$ не пополам, но делит её на два отрезка разной длины. Это значит, что точка $H$ не является серединой стороны $BC$, и необходимо использовать геометрические и тригонометрические методы для нахождения угла $B$.

2. Используем теорему Пифагора для треугольников $ABH$ и $AHC$: Треугольники $ABH$ и $AHC$ являются прямоугольными, так как $AH$ — это высота. Для каждого из этих треугольников применим теорему Пифагора.

   Обозначим:

   • $AB = BC = x$
   • $BH = 45$
   • $HC = 30$

   В треугольнике $ABH$:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = AH^2 + 45^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = AH^2 + 2025$$

   В треугольнике $AHC$:

   $$AC^2 = AH^2 + HC^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = AH^2 + 30^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = AH^2 + 900$$

3. Решаем систему уравнений: Мы имеем два уравнения:

   $$x^2 = AH^2 + 2025 \quad \text{и} \quad x^2 = AH^2 + 900$$

   Вычитаем второе уравнение из первого:

   $$0 = 2025 - 900 \quad \Rightarrow \quad AH^2 = 1125$$

   Таким образом, $AH = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}$.

4. Находим длину стороны $AB$ (или $BC$): Подставим найденное значение $AH$ в одно из уравнений. Например, в $x^2 = AH^2 + 900$:

   $$x^2 = (15\sqrt{5})^2 + 900 = 15^2 \cdot 5 + 900 = 1125 + 900 = 2025$$

   Следовательно, $x = \sqrt{2025} = 45$.

5. Нахождение $\cos B$: Теперь, чтобы найти $\cos B$, воспользуемся тригонометрией. В треугольнике $ABH$ угол $B$ связан с длиной катета $BH = 45$, гипотенузы $AB = 45$ и высотой $AH = 15\sqrt{5}$.

   Косинус угла $B$ можно найти через отношение прилежащего катета (то есть $BH$) к гипотенузе:

   $$\cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{45}{45} = 1$$