Площадь прямоугольного треугольника равна 50 корней из 3, деленное на 3. Один из острых углов равен 30 градусам. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.
Заранее спасибо.

Для того чтобы найти длину катета, прилежащего к углу 30 градусов, нужно воспользоваться данными, которые даны в задаче: площадь треугольника и угол.

Шаг 1. Формула для площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

где $a$ и $b$ — это катеты треугольника.

Задача говорит, что площадь треугольника равна $\frac{50\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, можно записать:

Умножив обе стороны на 2, получаем:

Шаг 2. Используем свойства углов в треугольнике

Задача говорит, что один из острых углов треугольника равен 30 градусам. В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен 30°, то второй острый угол будет равен 60° (так как сумма всех углов в треугольнике — 180°).

Используем отношения сторон прямоугольного треугольника с углом 30°:

• Катет, который прилежит к углу 30°, будет равен половине гипотенузы.
• Катет, противоположный углу 30°, будет равен половине гипотенузы, умноженной на $\sqrt{3}$.

Обозначим гипотенузу треугольника через $c$. Тогда:

• Катет, прилежащий к углу 30°, равен $\frac{c}{2}$,
• Катет, противоположный углу 30°, равен $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 3. Подставим в выражение для площади

Теперь подставим эти выражения для катетов в формулу площади:

Распишем это:

Но мы знаем, что $a \cdot b = \frac{100\sqrt{3}}{3}$, следовательно:

Шаг 4. Решим это уравнение

Чтобы избавиться от $\sqrt{3}$, поделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

Умножим обе стороны на 4:

Теперь извлечем квадратный корень:

Шаг 5. Найдем катет, прилежащий к углу 30°

Катет, прилежащий к углу 30°, равен $\frac{c}{2}$. Подставим значение $c$:

Итак, длина катета, прилежащего к углу 30°, равна $\frac{10\sqrt{3}}{3}$