Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в два раза?

Если все рёбра правильного тетраэдра увеличить в два раза, объём тетраэдра увеличится в восемь раз. Вот подробное объяснение:

1. Формула для объёма правильного тетраэдра
   Объём правильного тетраэдра вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$

   где $a$ — длина ребра тетраэдра.

2. Увеличение рёбер в два раза
   Если каждое ребро $a$ увеличить в два раза, то новое ребро станет $2a$.

3. Новый объём тетраэдра
   Подставим новую длину ребра $2a$ в формулу объёма:

   $$V_{\text{новый}} = \frac{(2a)^3 \sqrt{2}}{12}$$

   Раскроем куб длины ребра:

   $$V_{\text{новый}} = \frac{8a^3 \sqrt{2}}{12}$$

4. Соотношение нового объёма к старому
   Найдём, во сколько раз увеличился объём:

   $$\text{Увеличение объёма} = \frac{V_{\text{новый}}}{V_{\text{старый}}} = \frac{\frac{8a^3 \sqrt{2}}{12}}{\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}} = 8$$

5. Вывод
   Когда рёбра правильного тетраэдра увеличиваются в $2$ раза, его объём увеличивается в $2^3 = 8$ раз. Это связано с тем, что объём фигур зависит от куба линейных размеров.