Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 2 и 9. Найдите длину основания BC.

Для решения задачи давайте обозначим элементы трапеции и применим свойства геометрии.

Пусть трапеция $ABCD$ является равнобедренной, и из вершины $C$ проведена высота $CH$, которая делит основание $AD$ на отрезки $AH = 2$ и $HD = 9$.

1. Симметрия равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции высота, проведённая из одной из боковых вершин, делит основание пополам, то есть основание $AD$ разделяется на два отрезка, которые будут равны. Однако, в данной задаче высота делит основание $AD$ на отрезки длиной 2 и 9. Это означает, что высота проходит не из вершины, находящейся в центре основания $AD$, а смещена, и поэтому необходимо учитывать эту асимметрию.

2. Использование свойств прямоугольного треугольника: Из вершины $C$ проведена высота, что образует два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle DHC$. Эти треугольники одинаковы, так как трапеция равнобедренная, а высота делит основание неравномерно, но правильно учитывает деление основания $AD$.

3. Задача сводится к нахождению длины бокового основания $BC$:

Для более подробного анализа важно ввести дополнительный угол