В параллелограмме ABCD угол A равен 60 градусов , BC = 10, BD ⊥ AB. Найти периметр параллелограмма.

Для решения задачи найдем недостающие элементы параллелограмма, используя данные.

Дано:

• Угол $\angle A = 60^\circ$,
• Сторона $BC = 10$,
• Диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$.

Шаг 1: Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.
2. Угол $\angle A = 60^\circ$, следовательно, $\angle C = 60^\circ$ (так как противоположные углы равны), а углы $\angle B$ и $\angle D$ равны $120^\circ$ (смежные углы в сумме дают $180^\circ$).

Шаг 2: Разберем перпендикуляр $BD$

Диагональ $BD$ перпендикулярна $AB$, что создает прямоугольный треугольник $\triangle ABD$, где:

• $\angle BDA = 90^\circ$,
• $\angle A = 60^\circ$.

В треугольнике $\triangle ABD$:

• Гипотенуза $BD$,
• Катет $AB$,
• Катет $AD$.

Шаг 3: Связь сторон в треугольнике $\triangle ABD$

Используем свойства прямоугольного треугольника:

1. Если угол $\angle A = 60^\circ$, то соотношения сторон треугольника равны:

   $$\frac{AB}{BD} = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2},$$

   откуда:

   $$AB = \frac{BD}{2}.$$

2. Также:

   $$\frac{AD}{BD} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2},$$

   откуда:

   $$AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BD.$$

Шаг 4: Найдем длину $BD$

Поскольку $BC = 10$, а $AD = BC$ (в параллелограмме противоположные стороны равны), то:

Теперь выразим $BD$ через $AD$:

Подставляем $AD = 10$:

Умножаем на 2 и делим на $\sqrt{3}$:

Шаг 5: Найдем $AB$

Используем ранее найденную формулу:

Подставляем $BD = \frac{20\sqrt{3}}{3}$:

Шаг 6: Периметр параллелограмма

Периметр равен: