В треугольнике ABC AB=вектор а, AC=вектор b, AD - медиана. Найдите вектор 1/3 AD.

Для того чтобы найти вектор $\frac{1}{3} \overrightarrow{AD}$ в треугольнике ABC, где $AB = \vec{a}$, $AC = \vec{b}$, а $AD$ — медиана, давайте шаг за шагом разберём задачу.

1. Определение медианы: Медиана $AD$ треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника $A$ с серединой стороны $BC$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда медиана $AD$ будет соединять точку $A$ с точкой $M$.

2. Выражение точки $M$ через векторы: Так как точка $M$ — это середина стороны $BC$, её координаты (или вектор $M$) будут средним арифметическим координат точек $B$ и $C$:

   $$\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}.$$

   Вектора $B$ и $C$ можно выразить через векторы $a$ и $b$:

   $$\vec{B} = \vec{A} + \vec{a}, \quad \vec{C} = \vec{A} + \vec{b}.$$

   Подставляем это в формулу для $\vec{M}$:

   $$\vec{M} = \frac{(\vec{A} + \vec{a}) + (\vec{A} + \vec{b})}{2} = \frac{2\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}}{2}.$$

   Упростим:

   $$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.$$

3. Вектор медианы $AD$: Вектор медианы $AD$ можно найти как разность векторов $M$ и $A$:

   $$\overrightarrow{AD} = \vec{M} - \vec{A} = \left( \vec{A} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \right) - \vec{A}.$$

   Упрощаем:

   $$\overrightarrow{AD} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.$$