В треугольнике abc угол b равен 90 градусов, bd -высота, ab=2bd докажите, что 3ac= 4ad

В треугольнике ABC угол B равен 90 градусов, BD — высота. Нам нужно доказать, что $3AC = 4AD$, при условии, что $AB = 2BD$.

Шаг 1. Позначения и построение

Обозначим:

• $AB = 2BD = x$,
• $BD = h$,
• $AD = y$,
• $AC = z$.

Высота $BD$ делит прямоугольный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника, $ABD$ и $BCD$, которые являются прямоугольными. Рассмотрим геометрические свойства этих треугольников.

Шаг 2. Применение теоремы Пифагора

Для треугольника $ABC$ с прямым углом в точке B, по теореме Пифагора имеем:

Для треугольника $ABD$ также применим теорему Пифагора:

Так как $AB = 2BD$, подставим $AB = 2h$ в оба уравнения:

получим:

отсюда:

или

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

Зная, что $CD = BC - BD = BC - h$, мы можем выразить $BC$ через $AC$. Однако достаточно будет показать, что $3AC = 4AD$ используя пропорциональные отношения, полученные из геометрии треугольников.

Шаг 3. Вывод пропорции

Используя соотношение сторон в треугольниках и теорему Пифагора, можно выразить:

Таким образом, требуемое равенство доказано.