Стороны АВ, ВС, и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ=5см, РС= 7 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС.

Чтобы найти длину стороны $AC$, рассмотрим свойства треугольника, вписанного в окружность.

Основные положения

1. Окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон. Точки касания делят каждую сторону на два отрезка: один отрезок находится между вершиной треугольника и точкой касания, а другой — между точкой касания и соседней вершиной.

2. Для треугольника $ABC$, если $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$, то:

   $$AB = BP + BM, \quad BC = BM + CK, \quad AC = CK + CP,$$

   где $BM, CK, CP$ — отрезки от вершины треугольника до точки касания окружности.

3. Сумма длин отрезков между точками касания и вершинами треугольника равна полупериметру:

   $$BM + CK + CP = s,$$

   где $s = \frac{P}{2}$, а $P$ — периметр треугольника.

Данные задачи

• $BM = 5 \, \text{см}$,
• $CP = 7 \, \text{см}$,
• $P = 32 \, \text{см}$, то есть $s = \frac{32}{2} = 16 \, \text{см}$.

Используя формулу для полупериметра:

подставляем известные значения:

Отсюда:

Длина стороны $AC$

Сторона $AC$ состоит из двух отрезков $CK$ и $CP$:

Подставляем значения:

Ответ:

Длина стороны $AC$ равна 11 см.