В кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми СВ1 и АС.Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол между прямыми $СВ_1$ и $АС$ в кубе $АВСДА_1В_1С_1Д_1$, давайте разберёмся шаг за шагом.

1. Понимание геометрии куба

• Куб — это правильный многогранник, у которого все рёбра равны, и все грани — квадраты.
• Обозначим куб так:
  • Нижняя грань: $А, B, C, D$ (в этой последовательности по часовой стрелке).
  • Верхняя грань: $A_1, B_1, C_1, D_1$, причём точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются вертикальными проекциями соответствующих точек нижней грани.

Прямая $СВ_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$, а прямая $АС$ — это диагональ нижней грани $ABCD$.

2. Выбор системы координат

Для удобства разместим куб в координатной системе:

• $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$ (нижняя грань).
• $A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(0, a, a)$ (верхняя грань).

3. Координаты точек на прямых

• Прямая $СВ_1$:
  • Точка $C(a, a, 0)$ (нижняя грань).
  • Точка $B_1(a, 0, a)$ (верхняя грань).
• Прямая $АС$:
  • Точка $A(0, 0, 0)$.
  • Точка $C(a, a, 0)$.

4. Направляющие векторы прямых

• Вектор для $СВ_1$: $$\overrightarrow{C B_1} = (a - a, 0 - a, a - 0) = (0, -a, a).$$
• Вектор для $АС$: $$\overrightarrow{A C} = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0).$$

5. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ определяется как:

Подставим значения:

6. Длины векторов

Длина вектора $\overrightarrow{u} = (u_x, u_y, u_z)$ вычисляется по формуле: