В треугольнике ABC, угол B=68 градусов, угол A=59 градусов. AD, BE, и CF - биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол BOF.

Задача требует вычисления угла BOF в треугольнике ABC, где известны углы при вершинах B и A, а также то, что AD, BE и CF — это биссектрисы углов треугольника, пересекающиеся в точке O (центре вписанной окружности треугольника).

1. Находим угол C: Из того, что сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам, можем найти угол C:

   $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

   Подставляем известные значения углов:

   $$59^\circ + 68^\circ + \angle C = 180^\circ$$ $$\angle C = 180^\circ - 59^\circ - 68^\circ = 53^\circ$$

   Таким образом, угол C равен 53 градусам.

2. Рассматриваем точку O — инцентр треугольника: Точка O — это инцентр, то есть центр вписанной окружности. Она лежит на всех биссектрисах треугольника, и биссектрисы делят углы треугольника пополам.

   Для удобства обозначим углы, которые биссектрисы делят:

   • Биссектриса BE делит угол B на два равных угла: $\angle OBE = \frac{\angle B}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$.
   • Биссектриса AD делит угол A на два равных угла: $\angle OAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{59^\circ}{2} = 29.5^\circ$.
   • Биссектриса CF делит угол C на два равных угла: $\angle OCF = \frac{\angle C}{2} = \frac{53^\circ}{2} = 26.5^\circ$.

3. Находим угол BOF: Угол BOF — это угол между биссектрисами BE и CF в точке O. Чтобы найти этот угол, можно использовать геометрическое свойство, что угол между двумя биссектрисами треугольника, проходящими через одну вершину, равен половине разности углов при этих вершинах.

   То есть:

   $$\angle BOF = \frac{1}{2} \cdot \left( \angle B + \angle C - 180^\circ \right)$$

   Подставляем значения углов:

   $$\angle BOF = \frac{1}{2} \cdot \left( 68^\circ + 53^\circ - 180^\circ \right)$$ $$\angle BOF = \frac{1}{2} \cdot \left( 121^\circ - 180^\circ \right) = \frac{1}{2} \cdot (-59^\circ) = -29.5^\circ$$

   Однако угол не может быть отрицательным, поэтому мы используем абсолютное значение, получая:

   $$\angle BOF = 29.5^\circ$$

Итак, угол BOF равен 29.5 градуса.