Сторона треугольника равна а, а прилежащие к ней углы 30° и 45°. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи нам нужно найти площадь треугольника, если одна из сторон равна $a$, а прилежащие к ней углы составляют $30^\circ$ и $45^\circ$.

1. Обозначения:

   • Пусть треугольник ABC, где сторона $AB = a$, угол $\angle ABC = 30^\circ$, угол $\angle ACB = 45^\circ$.

2. Нахождение угла при вершине A: Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол при вершине A можно найти как:

   $$\angle BAC = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$$

3. Используем формулу для площади через две стороны и угол между ними: Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$$

   Нам нужно найти $AC$, и для этого мы воспользуемся теоремой синусов, которая выглядит так:

   $$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$$

   Подставляем известные значения:

   $$\frac{AC}{\sin(30^\circ)} = \frac{a}{\sin(45^\circ)}$$ $$\frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

   Упростим выражение:

   $$AC = a \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

4. Подставляем значение AC в формулу для площади: Теперь мы можем найти площадь:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sin(105^\circ)$$

   Используем, что $\sin(105^\circ) = \sin(75^\circ)$, и $\sin(75^\circ) \approx 0.9659$:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{2}} \cdot 0.9659$$

   Таким образом, площадь треугольника будет равна:

   $$S \approx 0.682 \cdot \frac{a^2}{\sqrt{2}}$$

   Это и есть ответ для площади треугольника в зависимости от стороны $a$.