Вычислить проекцию вектора a 5 2 5 на ось вектора b 2 -1 2

Для того чтобы вычислить проекцию вектора $\mathbf{a} = (5, 2, 5)$ на ось вектора $\mathbf{b} = (2, -1, 2)$, необходимо использовать формулу проекции вектора на вектор. Проекция вектора $\mathbf{a}$ на вектор $\mathbf{b}$ определяется по формуле:

$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \right) \mathbf{b}$

где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, а $\|\mathbf{b}\|$ - длина (норма) вектора $\mathbf{b}$.

1. Сначала найдем скалярное произведение $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \times 2 + 2 \times (-1) + 5 \times 2$

2. Затем вычислим норму вектора $\mathbf{b}$: $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}$

3. После этого подставим значения в формулу проекции: $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \right) \mathbf{b}$

Выполним данные расчеты.

Проекция вектора $\mathbf{a} = (5, 2, 5)$ на ось вектора $\mathbf{b} = (2, -1, 2)$ равна $(4, -2, 4)$. Это означает, что вектор проекции направлен в том же направлении, что и вектор $\mathbf{b}$, и его компоненты в декартовой системе координат составляют 4 по оси X, -2 по оси Y и 4 по оси Z. ​​