Найти объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большого катета

Для того чтобы найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, можно использовать метод вычисления объема вращающегося тела с помощью интегралов. В данном случае, у нас прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см (обратите внимание, что гипотенуза 10 см указывает на то, что это прямоугольный треугольник по теореме Пифагора, т.е. $6^2 + 8^2 = 10^2$).

Пусть мы вращаем треугольник вокруг большего катета (то есть катет длиной 8 см). В этом случае, получаем вращение около оси, и результатом будет конус.

Шаг 1: Найдем высоту и радиус для конуса.

Если мы вращаем треугольник вокруг катета длиной 8 см, то высота конуса будет равна длине другого катета — 6 см, а радиус основания конуса будет равен длине гипотенузы (10 см) минус длина катета, вокруг которого вращается треугольник. Радиус основания получаем как разницу 10 см и 8 см, т.е. 2 см.

Шаг 2: Формула для объема конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле:

где $r$ — радиус основания, $h$ — высота.

Подставляем известные значения:

Ответ:

Объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, равен $8\pi \, \text{см}^3$, что примерно равно 25.13 см³.