В треугольнике ABC угол B=90 градусов, AB=BC, BD-медиана,AC=2корень из 2. Вычислите скалярное произведение векторов BD на AC, BD НА BC, BD на BD!

Давайте пошагово разберемся, как решить эту задачу.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом B = 90 градусов, причем AB = BC, то есть это равнобедренный прямоугольный треугольник. Кроме того, BD — медиана, которая соединяет вершину B с серединой гипотенузы AC. Длина AC равна $2\sqrt{2}$.

1. Найдем координаты точек:

   Мы будем работать в декартовой системе координат, где удобно расположить точки треугольника:

   • Пусть точка B находится в начале координат: $B = (0, 0)$.
   • Поскольку AB = BC, то выберем точку A на оси X, а точку C — на оси Y:
     • $A = (a, 0)$
     • $C = (0, a)$

   По условию, длина AC = $2\sqrt{2}$. Используем теорему Пифагора для нахождения $a$:

   $$AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.$$

   Поскольку $AC = 2\sqrt{2}$, получаем:

   $$a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}, \quad a = 2.$$

   Теперь координаты точек A и C:

   • $A = (2, 0)$
   • $C = (0, 2)$

2. Найдем координаты точки D:

   Точка D — середина гипотенузы AC. Поэтому ее координаты будут средними значениями координат точек A и C:

   $$D = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2} \right) = (1, 1).$$

3. Теперь вычислим скалярные произведения:

   Скалярное произведение векторов BD и AC: Вектор $BD$ имеет координаты $D - B = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1)$, а вектор $AC$ — координаты $C - A = (0, 2) - (2, 0) = (-2, 2)$.

   Скалярное произведение $BD \cdot AC$ вычисляется по формуле:

   $$BD \cdot AC = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = -2 + 2 = 0.$$

   То есть скалярное произведение векторов BD и AC равно 0.

   Скалярное произведение векторов BD и BC: Вектор $BC$ имеет координаты $C - B = (0, 2) - (0, 0) = (0, 2)$.

   Скалярное произведение $BD \cdot BC$ будет:

   $$BD \cdot BC = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 0 + 2 = 2.$$

   То есть скалярное произведение векторов BD и BC равно 2.

   Скалярное произведение вектора BD на самого себя: Вектор $BD = (1, 1)$. Скалярное произведение вектора самого с собой — это просто сумма квадратов его компонент:

   $$BD \cdot BD = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2.$$

Ответ:

• Скалярное произведение векторов BD и AC: $0$
• Скалярное произведение векторов BD и BC: $2$
• Скалярное произведение вектора BD с самим собой: $2$