Как определить вид треугольника с помощью векторов?

Чтобы определить вид треугольника с помощью векторов, нужно воспользоваться понятиями скалярного произведения и длины вектора. Вот пошаговое объяснение, как это сделать:

1. Исходные данные

Предположим, у тебя есть координаты трёх точек: $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$.

Из них можно составить векторы сторон треугольника:

• $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

• $\vec{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2)$

• $\vec{CA} = (x_1 - x_3, y_1 - y_3)$

2. Определение типа треугольника по углам

Чтобы понять, прямоугольный ли треугольник, ищем прямой угол с помощью скалярного произведения векторов. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю — угол между ними прямой.

Формула скалярного произведения:

Проверяем:

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ — значит, угол при вершине A прямой.

• $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$ — прямой угол при B.

• $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$ — прямой угол при C.

Если хотя бы один из них равен нулю, значит, треугольник прямоугольный.

3. Определение равнобедренного или равностороннего треугольника

Сравниваем длины сторон с помощью модуля вектора (длины):

Вычисляем длины трёх сторон:

• $AB = |\vec{AB}|$

• $BC = |\vec{BC}|$

• $CA = |\vec{CA}|$

Теперь анализируем:

• Если все три стороны равны, треугольник равносторонний.

• Если две стороны равны, треугольник равнобедренный.

• Если все стороны разные, треугольник разносторонний.

4. Сводная таблица по признакам

Пример

Пусть даны точки: $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$

Векторы:

• $\vec{AB} = (4,0)$

• $\vec{AC} = (0,3)$

Скалярное произведение: