Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Признаки параллелограмма — это условия, при которых четырехугольник является параллелограммом. Рассмотрим несколько таких признаков.

1. Противоположные стороны параллельны и равны.
   Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Доказательство этого признака можно провести с помощью теоремы о равенстве противоположных сторон параллелограмма.

2. Противоположные углы равны.
   В параллелограмме противоположные углы всегда равны. Для доказательства этого можно воспользоваться свойством того, что если две прямые параллельны и пересекаются третьей прямой, то углы при пересечении этой прямой на параллельных прямых будут равны.

3. Диагонали делят друг друга пополам.
   В параллелограмме диагонали обязательно делятся пополам в точке их пересечения. Это свойство можно доказать, используя теорему о том, что для параллельных прямых, пересекаемых транспозицией, их отрезки делятся пополам в точке пересечения.

4. Если один угол прямой, то все углы прямые.
   Если один угол параллелограмма прямой, то все углы в нем будут прямыми. Это следует из того, что сумма углов в любом четырёхугольнике всегда равна 360°. Если один угол прямой, то сумма оставшихся углов также должна быть 180°, и все они окажутся прямыми.

Каждое из этих утверждений можно использовать для доказательства того, что данный четырехугольник является параллелограммом, если выполняются соответствующие условия.