В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°.
Меньшая боковая сторона равна 19 см, а большее основание равно 31 см.
Вычисли длину меньшего основания.

Рассмотрим решение задачи пошагово.

Дано:

• Прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB \parallel CD$.
• Острый угол при основании (предположим, $\angle DAB$) равен $45^\circ$.
• Меньшая боковая сторона $AD = 19$ см.
• Большее основание $AB = 31$ см.

Задача:

Найти длину меньшего основания $CD$ трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция является прямоугольной, то один из углов, прилежащих к боковой стороне $AD$, прямой (например, $\angle CDA = 90^\circ$). Также известно, что острый угол $\angle DAB = 45^\circ$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle DAB$: В этом треугольнике угол $\angle DAB = 45^\circ$, а угол $\angle CDA = 90^\circ$. Это значит, что треугольник $\triangle DAB$ является прямоугольным и равнобедренным (поскольку один из углов $45^\circ$, а значит, углы $\angle DAB$ и $\angle ADB$ равны).

2. Используем свойства прямоугольного равнобедренного треугольника: Если треугольник равнобедренный с углами $45^\circ$ и $90^\circ$, то катеты этого треугольника равны. Значит, в нашем случае $AD = DB$.

   Следовательно, $DB = 19$ см.

3. Найдем длину основания $CD$: Поскольку $AB \parallel CD$, то $AB = CD + DB$.

   Отсюда:

   $$CD = AB - DB$$

4. Подставим известные значения:

   $$CD = 31 - 19 = 12 \text{ см}$$

Ответ:

Длина меньшего основания $CD$ равна $12$ см.