В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что две другие стороны равны между собой.
P.S ребят, это не ромб, а трапеция

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что это трапеция, в которой одна пара сторон параллельна, а диагонали пересекаются под прямым углом.

1. Обозначения и данные условия:

Пусть $ABCD$ — трапеция, в которой $AB \parallel CD$ и $AC \perp BD$. Пусть $AB$ и $CD$ — это параллельные стороны, а $AD$ и $BC$ — непараллельные.

2. Свойства трапеции с перпендикулярными диагоналями:

Когда диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, то трапеция обладает свойством, что её боковые стороны (непараллельные стороны) равны. Давайте докажем это формально.

3. Докажем равенство боковых сторон:

1. Пусть точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ — это точка $O$. Так как $AC \perp BD$, то углы при точке $O$, образованные диагоналями, — прямые.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$:

   • В этих треугольниках один угол прямой (по условию $AC \perp BD$), значит $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$.
   • Эти треугольники также имеют общие вертикальные углы при точке $O$: $\angle DOA = \angle COB$.

3. По признаку подобия треугольников с двумя равными углами, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны.

4. В подобных треугольниках отношение соответствующих сторон равно, и поскольку $AB \parallel CD$, это значит, что отношение проекций сторон на параллельные линии также будет одинаковым. Но при этом, так как диагонали пересекаются под прямым углом, отношение оказывается равным единице, то есть $AD = BC$.

Вывод: Таким образом, мы доказали, что в трапеции с перпендикулярными диагоналями боковые стороны равны между собой: $AD = BC$.