Чем отличается, предположим, |BA| + |BC| и |BA + BC|?


P.s. это модули вектора

Ответ на этот вопрос требует понимания свойств модулей векторов и операций над ними. Давайте разберемся на примере.

Предположим, у нас есть три точки на плоскости или в пространстве: $A$, $B$ и $C$. Мы рассматриваем векторы $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ и их модули.

1. $|BA| + |BC|$

Это выражение означает сумму модулей двух векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$. Модуль вектора — это его длина, то есть расстояние от точки начала вектора до точки его конца.

• $|BA|$ — это длина вектора от $B$ до $A$.
• $|BC|$ — это длина вектора от $B$ до $C$.

Когда мы складываем эти модули, мы просто добавляем расстояния между $B$ и $A$, а также между $B$ и $C$, не учитывая их направление относительно друг друга. Это может быть полезно, например, если мы ищем общую длину пути, состоящего из двух участков: от $B$ до $A$ и от $B$ до $C$, но не обязательно, что эти векторы направлены в одну сторону.

2. $|BA + BC|$

Это выражение обозначает модуль суммы векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$. Векторная сумма означает, что мы складываем два вектора $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$, то есть они "выстраиваются" один за другим, начиная с конца первого.

• Вектор $\overrightarrow{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$.
• Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от точки $B$ к точке $C$.

Когда мы складываем эти векторы, мы получаем новый вектор, который начинается в точке $B$ и идет сначала в сторону $A$, а потом в сторону $C$, то есть $\overrightarrow{BA + BC} = \overrightarrow{AC}$ (вектор от $A$ до $C$).

Теперь, если мы берем модуль суммы $|BA + BC|$, это означает, что мы вычисляем длину вектора $\overrightarrow{AC}$, а не сумму длин $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$. Это может быть меньше или больше суммы $|BA| + |BC|$ в зависимости от того, как ориентированы векторы относительно друг друга.

Главное отличие:

• $|BA| + |BC|$ — это просто сумма длин двух векторов, без учета их взаимного направления.
• $|BA + BC|$ — это длина одного вектора, полученного в результате их векторной суммы, то есть длина прямой, соединяющей $A$ и $C$.

Таким образом, $|BA| + |BC|$ всегда будет больше либо равно $|BA + BC|$, причем равенство наступает, только если векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ направлены в одну и ту же сторону (то есть если $A$, $B$, и $C$ лежат на одной прямой). В остальных случаях сумма модулей всегда больше, чем модуль суммы.