В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8:5.Найдите острые углы этого треугольника.

Для начала разберем задачу. Нам известно, что углы рассматриваемого треугольника — это углы прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен $90^\circ$, а два других угла острые (их сумма равна $90^\circ$).

Внешние углы треугольника связаны с внутренними углами. Внешний угол при данном внутреннем угле равен $180^\circ - \text{величина внутреннего угла}$. Таким образом, для острых углов их внешние углы равны:

• $180^\circ - \alpha$,
• $180^\circ - \beta$,

где $\alpha$ и $\beta$ — острые углы треугольника.

Согласно условию, внешние углы $(180^\circ - \alpha)$ и $(180^\circ - \beta)$ относятся как $8:5$. Это можно записать уравнением:

1. Выразим это отношение и упростим

Перемножим крест-накрест, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные члены:

2. Связь между $\alpha$ и $\beta$

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника, то:

Выразим $\beta$ через $\alpha$:

Подставим это в уравнение $8\beta - 5\alpha = 540^\circ$:

Раскроем скобки:

Соберем $\alpha$:

Найдем $\alpha$:

Теперь найдем $\beta$:

Ответ:

Острые углы треугольника примерно равны: