Найдите косинус угла при вершине равнобедренного треугольника если высота проведенная к боковой стороне меньше этой стороны в 3 раза

Рассмотрим задачу нахождения косинуса угла при вершине равнобедренного треугольника, где высота, проведённая к боковой стороне, меньше этой стороны в 3 раза.

Дано:

1. Равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$ — боковые стороны.
2. Высота $CD$, проведённая к боковой стороне $AB$, такова, что $CD = \frac{1}{3} AB$.

Нужно найти косинус угла $\angle ACB$ (угол при вершине).

Решение:

Шаг 1: Обозначение сторон

Пусть длина боковой стороны $AB = AC = a$, тогда высота $CD = \frac{a}{3}$.

Шаг 2: Использование теоремы Пифагора

Треугольник $BCD$ прямоугольный ($\angle CDB = 90^\circ$), где:

• $BD$ — проекция $AB$ на основание $BC$,
• $CD = \frac{a}{3}$ — высота,
• $AB = a$.

По теореме Пифагора:

Подставим известные величины:

Упростим:

Вынесем $BD^2$:

Значит:

Шаг 3: Выражение основания $BC$

Основание $BC$ равно удвоенной длине проекции $BD$, так как треугольник равнобедренный:

Шаг 4: Косинус угла при вершине

В равнобедренном треугольнике угол при вершине $\angle ACB$ делится высотой $CD$ на два равных угла. Обозначим половину этого угла как $\theta$. Тогда:

Подставим значения:

Так как $\cos\angle ACB = 2\cos^2\theta - 1$, найдём $\cos^2\theta$: