В треугольник вписана окружность так, что три из шести получившихся отрезков касательных равны 3 см, 4 см, 5 см. Определите вид треугольника

Рассмотрим задачу, где в треугольник вписана окружность, и даны три отрезка касательных, равные 3 см, 4 см и 5 см. Нужно определить вид треугольника.

Шаг 1: Свойства треугольника с вписанной окружностью

Когда окружность вписана в треугольник, длины отрезков касательных, проведённых из одной вершины к точкам касания, равны. Это свойство позволяет разбить стороны треугольника на отрезки, сумма которых на каждой стороне совпадает.

Обозначим:

• $a, b, c$ — стороны треугольника.
• Отрезки касательных у вершин треугольника: $x, y, z$ — длины отрезков из одной вершины.

Согласно свойству:

• $a = y + z$,
• $b = z + x$,
• $c = x + y$.

Шаг 2: Используем данные задачи

Пусть отрезки касательных равны 3 см, 4 см и 5 см. Тогда:

• $x = 3$,
• $y = 4$,
• $z = 5$.

Подставляем их в выражения для сторон треугольника:

• $a = y + z = 4 + 5 = 9$,
• $b = z + x = 5 + 3 = 8$,
• $c = x + y = 3 + 4 = 7$.

Таким образом, стороны треугольника равны $a = 9$, $b = 8$, $c = 7$.

Шаг 3: Проверяем вид треугольника

Для определения вида треугольника нужно рассмотреть два критерия:

1. Равнобедренный ли треугольник: Проверяем, есть ли среди сторон равные. Здесь $a \neq b \neq c$, значит, треугольник неравнобедренный.
2. Прямоугольный ли треугольник: Проверяем выполнение теоремы Пифагора: $$a^2 = b^2 + c^2.$$ Подставляем значения: $$9^2 \stackrel{?}{=} 8^2 + 7^2, \quad 81 \stackrel{?}{=} 64 + 49, \quad 81 \neq 113.$$ Теорема Пифагора не выполняется, значит, треугольник не прямоугольный.

Поскольку треугольник неравнобедренный и не прямоугольный, он является обычным разносторонним треугольником.

Ответ

Треугольник с вписанной окружностью, где три из шести отрезков касательных равны 3 см, 4 см и 5 см, является разносторонним треугольником.