Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по следующей формуле:

где:

• $S$ — это сумма внутренних углов многоугольника,
• $n$ — количество сторон (или вершин) в многоугольнике.

Обоснование:

1. Разбиение на треугольники: Для любого многоугольника с $n$ сторонами можно провести $(n - 2)$ диагоналей, которые разбивают его на $(n - 2)$ треугольников. Каждый треугольник имеет сумму углов, равную $180^\circ$.

2. Сумма углов всех треугольников: Так как на $(n - 2)$ треугольников, сумма углов всех этих треугольников будет равна $(n - 2) \times 180^\circ$.

3. Сумма углов многоугольника: Поскольку сумма углов каждого из треугольников уже учтена, сумма углов многоугольника также будет равна $(n - 2) \times 180^\circ$.

Пример:

• Для квадрата ($n = 4$):
  $S = (4 - 2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.
• Для пятиугольника ($n = 5$):
  $S = (5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.

Эта формула справедлива для всех выпуклых многоугольников, независимо от того, каковы их размеры или углы.