Площади двух кругов относятся как 9 : 4, а разность их радиусов равна 4,5 см. Найдите длины их окружностей.

Для того чтобы решить задачу, давайте разобьем её на несколько шагов.

1. Используем отношение площадей: Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга.

   Согласно условию задачи, площади двух кругов относятся как 9:4, то есть:

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{4}$$

   Подставим формулы для площадей кругов:

   $$\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{9}{4}$$

   Убираем $\pi$ из числителя и знаменателя:

   $$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$$

   Это значит, что:

   $$\left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \frac{9}{4}$$

   Отсюда:

   $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$$

   То есть радиус первого круга в 1,5 раза больше радиуса второго круга.

2. Используем разность радиусов: Также по условию задачи, разность радиусов двух кругов равна 4,5 см:

   $$r_1 - r_2 = 4,5$$

   Теперь, зная, что $r_1 = \frac{3}{2} r_2$, подставим это в уравнение для разности радиусов:

   $$\frac{3}{2} r_2 - r_2 = 4,5$$

   Приведем выражение:

   $$\frac{3}{2} r_2 - \frac{2}{2} r_2 = 4,5$$ $$\frac{1}{2} r_2 = 4,5$$

   Умножаем обе части на 2:

   $$r_2 = 9$$

   Таким образом, радиус второго круга $r_2 = 9$ см.

3. Найдем радиус первого круга: Поскольку $r_1 = \frac{3}{2} r_2$, подставляем $r_2 = 9$:

   $$r_1 = \frac{3}{2} \times 9 = 13,5$$

   Радиус первого круга $r_1 = 13,5$ см.

4. Найдем длину окружности: Длина окружности круга вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

   Для первого круга:

   $$C_1 = 2\pi \times 13,5 = 27\pi$$

   Для второго круга:

   $$C_2 = 2\pi \times 9 = 18\pi$$

   Таким образом, длины окружностей двух кругов составляют $27\pi$ см и $18\pi$ см.

Ответ: длины окружностей двух кругов — $27\pi$ см и $18\pi$ см, что примерно равно 84,78 см и 56,55 см.