Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках О и К так, что АО = 16см, ВО = 4см, ОК = 2см. Найдите АС.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках, которая гласит, что если прямая параллельна одной из сторон треугольника и пересекает две другие стороны, то она делит эти стороны на отрезки, пропорциональные.

В данной задаче прямая параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $O$ и $K$ соответственно.

Дано:

• $AO = 16 \, \text{см}$
• $BO = 4 \, \text{см}$
• $OK = 2 \, \text{см}$

Нужно найти длину стороны $AC$.

Шаг 1: Определим пропорции

Поскольку прямая, пересекающая треугольник, параллельна одной из его сторон, она делит стороны треугольника на пропорциональные отрезки. То есть, отрезки на сторонах $AB$ и $BC$ пропорциональны отрезкам на сторонах $AC$ и $BC$. Таким образом, можем записать:

Подставим известные значения:

Упростим пропорцию:

Это означает, что $AC$ в 4 раза больше, чем $BC$. То есть:

Шаг 2: Используем отрезок $OK$

Теперь используем информацию о длине отрезка $OK$, который составляет $2 \, \text{см}$. Мы знаем, что $OK$ является частью стороны $BC$. Следовательно, можно выразить $BC$ как сумму отрезков $BK$ и $KC$:

Так как прямая, пересекающая стороны $AB$ и $BC$, параллельна стороне $AC$, то отрезки $BK$ и $KC$ пропорциональны отрезкам $AO$ и $BO$ (по теореме о пропорциональных отрезках). Таким образом, имеем:

Это означает, что $BK$ в 4 раза больше, чем $KC$. Пусть длина $KC = x$, тогда $BK = 4x$. Теперь из суммы этих отрезков $BK + KC = BC$ получаем:

Шаг 3: Подставим значение $BC$ в пропорцию

Теперь подставим значение $BC = 5x$ в пропорцию $AC = 4 \times BC$:

Шаг 4: Найдем $x$ через длину $OK$

Мы знаем, что $OK = 2 \, \text{см}$, и этот отрезок также пропорционален отрезкам $AO$ и $BO$. То есть:

Отсюда:

Решим это уравнение для $x$:

Шаг 5: Найдем $AC$

Теперь, зная $x = 0.5$, подставим это значение в выражение для $AC$:

Ответ: длина стороны $AC$ равна $10 \, \text{см}$.