В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию треугольника AC.
Периметр треугольника ABC= 64 см, а периметр треугольника ABD= 40 см. Рассчитай длину BD.

Для решения задачи будем использовать информацию о периметре треугольников и геометрические свойства равнобедренного треугольника.

Шаг 1. Обозначения

Обозначим:

• $AB = AC = x$ (поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны),
• $BD = h$ (высота, которую мы должны найти),
• $CD = y$ (половина основания треугольника, так как высота делит основание пополам).

Шаг 2. Периметр треугольника ABC

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон:

Так как $AB = AC = x$, а основание $BC = 2y$, получаем:

Упростим:

Разделим обе части на 2:

Шаг 3. Периметр треугольника ABD

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его периметр равен:

Так как $AB = x$, а $AD = BD = h$, то получаем:

Упростим:

Шаг 4. Система уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

Решим эту систему.

Шаг 5. Выразим $x$ из уравнения (1)

Из уравнения (1) выразим $x$ через $y$:

Шаг 6. Подставим $x$ в уравнение (2)

Теперь подставим выражение для $x$ из уравнения (1) в уравнение (2):

Упростим:

Шаг 7. Используем теорему Пифагора для треугольника ABD

В треугольнике $ABD$ можно применить теорему Пифагора, так как $BD$ — это высота, и треугольник прямоугольный:

Подставим известные значения:

Теперь подставим выражение для $h$ из уравнения (3):

Упростим:

Раскроем квадрат:

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

Шаг 8. Подставим $x = 32 - y$ в уравнение (4)

Теперь подставим $x = 32 - y$ в уравнение (4):

Раскроем квадрат: