В треугольнике ABC AC=BC, AB=15, AH - высота, BH=3. Найдите cos BAC

Давайте разберемся шаг за шагом, как решить задачу.

У нас есть треугольник ABC, в котором:

• AC = BC (треугольник равнобедренный),
• AB = 15,
• AH — высота треугольника из вершины A на сторону BC,
• BH = 3 (поскольку AH — высота, значит, точка H лежит на стороне BC, и BH — это одна из частей основания).

Наша цель — найти $\cos \angle BAC$.

1. Расстояния и обозначения

В треугольнике ABC высота AH делит основание BC на два равных отрезка. Так как BC делится на две равные части, то:

Таким образом, длина всей стороны BC будет:

2. Применение теоремы Пифагора в треугольнике ABH

Так как AH — это высота, то в прямоугольном треугольнике ABH можно применить теорему Пифагора:

Подставим известные значения:

3. Нахождение $\cos \angle BAC$

Теперь давайте найдем $\cos \angle BAC$. В треугольнике ABH $\cos \angle BAC$ можно выразить через отношения длин сторон. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

Теперь $\angle BAC = 2 \times \angle ABH$, так как треугольник ABC равнобедренный и высота делит угол пополам. Таким образом, для нахождения $\cos \angle BAC$ можно воспользоваться формулой удвоенного угла:

Подставляем $\cos \theta = \frac{1}{5}$:

Таким образом, $\cos \angle BAC = \frac{-23}{25}$.

Ответ: $\cos \angle BAC = \frac{-23}{25}$.