Кар­тин­ка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 16 см и 24 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ши­ри­ны. Пло­щадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окан­тов­кой, равна 1140 см2. Ка­ко­ва ши­ри­на окан­тов­ки?

Давайте разберемся по шагам, как найти ширину окантовки.

1. Обозначим переменные: Пусть $x$ — это ширина окантовки. Тогда, если на картинку наклеена окантовка одинаковой ширины со всех сторон, размеры всей фигуры с учетом окантовки будут такими:

   • Ширина с окантовкой: $16 + 2x$ см (по 2x с каждой стороны).
   • Длина с окантовкой: $24 + 2x$ см (также по 2x с каждой стороны).

2. Запишем формулу для площади всей фигуры (картинка с окантовкой): Площадь всей фигуры с окантовкой равна произведению длины на ширину:

   $$P = (16 + 2x)(24 + 2x)$$

   Из условия задачи нам известно, что площадь всей фигуры равна 1140 см²:

   $$(16 + 2x)(24 + 2x) = 1140$$

3. Решаем уравнение: Раскроем скобки:

   $$(16 + 2x)(24 + 2x) = 16 \cdot 24 + 16 \cdot 2x + 2x \cdot 24 + 2x \cdot 2x$$ $$= 384 + 32x + 48x + 4x^2$$ $$= 384 + 80x + 4x^2$$

   Теперь приравняем к 1140:

   $$384 + 80x + 4x^2 = 1140$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$4x^2 + 80x + 384 - 1140 = 0$$ $$4x^2 + 80x - 756 = 0$$

   Разделим все на 4:

   $$x^2 + 20x - 189 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Для нашего уравнения $a = 1$, $b = 20$, $c = -189$:

   $$x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-189)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 756}}{2}$$ $$x = \frac{-20 \pm \sqrt{1156}}{2}$$ $$x = \frac{-20 \pm 34}{2}$$

   Получаем два возможных значения для $x$:

   $$x = \frac{-20 + 34}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

   или

   $$x = \frac{-20 - 34}{2} = \frac{-54}{2} = -27$$

   Так как ширина окантовки не может быть отрицательной, то $x = 7$.

Ответ: ширина окантовки равна 7 см.