Острый угол А прямоугольной трапеции ABCD равен 45 градусов.большое основание трапеции равно 8 см ,а большая боковая сторона равна 4 корень из 2.Найдите площадь трапеции

Давайте шаг за шагом решим задачу.

У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где угол при вершине A равен 45 градусам, большое основание равно 8 см, а большая боковая сторона (AD) равна $4\sqrt{2}$ см.

1. Обозначим элементы трапеции.

• Большое основание $AB = 8$ см.
• Большая боковая сторона $AD = 4\sqrt{2}$ см.
• Угол при вершине A равен 45°, так что угол $\angle DAB = 45^\circ$.

2. Разберемся с геометрией трапеции.

Поскольку трапеция прямоугольная, то угол $\angle DAB = 45^\circ$, а угол $\angle CDA = 90^\circ$. Из этого можно сделать вывод, что треугольник $ABD$ является прямоугольным. В этом треугольнике мы можем использовать основные свойства угла 45° и гипотенузы.

3. Используем тригонометрию для нахождения высоты.

Так как угол $\angle DAB = 45^\circ$, то можно разделить боковую сторону $AD = 4\sqrt{2}$ на две компоненты: горизонтальную и вертикальную, которые будут равны между собой (так как угол 45°). Мы можем применить синус и косинус, чтобы найти высоту.

• Высота $h$ трапеции — это вертикальная проекция большой боковой стороны. Поскольку угол 45° является углом между боковой стороной и горизонталью, то высота будет равна:

  $$h = AD \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{см}$$

4. Найдем малое основание.

Мы знаем, что трапеция прямоугольная, а большая боковая сторона образует угол 45° с основанием. Чтобы найти малое основание $CD$, используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABD$:

• Горизонтальная проекция боковой стороны $AD$ (это разница между большими и малыми основаниями) будет равна:

  $$\text{горизонтальная проекция} = AD \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{см}$$

• Поскольку $AB = 8$ см (большое основание), то малое основание $CD$ будет равно разнице между большим основанием и горизонтальной проекцией боковой стороны:

  $$CD = AB - \text{горизонтальная проекция} = 8 - 4 = 4 \, \text{см}$$

5. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

Подставляем известные значения:

Ответ: Площадь трапеции равна 24 см².