Центр равностороннего треугольника удалён от вершины треугольника на 24. Найдите радиус окружности , вписанной в этот треугольник

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами равностороннего треугольника.

1. Определение элементов равностороннего треугольника: Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, и $O$ — центр его окружности (центр масс, точка пересечения медиан). Мы знаем, что:

   • Центр равностороннего треугольника является одновременно центром окружности, вписанной в треугольник (точка пересечения медиан и биссектрис).
   • Расстояние от центра треугольника до его вершины равно $\frac{2}{3}$ длины медианы.

2. Медиана и её длина: Пусть $a$ — длина стороны равностороннего треугольника. Медиана $m$ в равностороннем треугольнике может быть вычислена по формуле:

   $$m = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

   Это вытекает из свойства медианы в равностороннем треугольнике, которая делит треугольник на два прямоугольных треугольника.

3. Расстояние от центра до вершины: Из условия задачи известно, что расстояние от центра треугольника до вершины равно 24. По свойствам медиан, это расстояние составляет $\frac{2}{3}$ длины медианы:

   $$\frac{2}{3} m = 24$$

   Подставим значение медианы:

   $$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = 24$$

   Упростим это выражение:

   $$\frac{\sqrt{3}}{3} a = 24$$

   Умножим обе части на 3:

   $$\sqrt{3} a = 72$$

   Разделим на $\sqrt{3}$:

   $$a = \frac{72}{\sqrt{3}} = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 24 \sqrt{3}$$

   Таким образом, длина стороны треугольника $a = 24 \sqrt{3}$.

4. Радиус вписанной окружности: Радиус $r$ вписанной окружности равностороннего треугольника можно найти по формуле:

   $$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

   Подставим значение $a = 24 \sqrt{3}$:

   $$r = \frac{24 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \cdot 3}{6} = 12$$

Ответ: радиус вписанной окружности равен 12.