Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагонали граней которого равны корень из 5см; корень из 10см; корень из 13см. Полное решение и рисунок к нему.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, диагонали граней которого известны, воспользуемся следующим подходом:

Шаг 1. Вспомним формулы для диагоналей граней

Если длины сторон параллелепипеда обозначить как $a$, $b$, $c$, то диагонали его граней можно выразить через теорему Пифагора:

1. Для грани с размерами $a$ и $b$: $$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$$
2. Для грани с размерами $b$ и $c$: $$d_2 = \sqrt{b^2 + c^2}$$
3. Для грани с размерами $a$ и $c$: $$d_3 = \sqrt{a^2 + c^2}$$

Нам даны значения:

Шаг 2. Выразим $a^2$, $b^2$ и $c^2$ через данные диагонали

Подставляя данные в формулы:

1. $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5} \implies a^2 + b^2 = 5$,
2. $\sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{10} \implies b^2 + c^2 = 10$,
3. $\sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{13} \implies a^2 + c^2 = 13$.

Шаг 3. Найдем $a^2$, $b^2$ и $c^2$

Сложим все три уравнения:

Теперь вычтем из этого результата каждое из исходных уравнений:

1. Вычитаем $a^2 + b^2 = 5$: $$c^2 = 14 - 5 = 9 \implies c = 3.$$
2. Вычитаем $b^2 + c^2 = 10$: $$a^2 = 14 - 10 = 4 \implies a = 2.$$
3. Вычитаем $a^2+c^2=13$