На сторонах Pk и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MP=PB=AK=; угол MPB=60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и AH

Давайте подробно разберем задачу:

Дано:

1. Параллелограмм MPKH.
2. На сторонах $PK$ и $MH$ взяты точки $A$ и $B$ соответственно.
3. $MP = PB = AK$.
4. Угол $\angle MPB = 60^\circ$.

Требуется:

1. Найти углы параллелограмма.
2. Сравнить отрезки $BM$ и $AH$.

Шаг 1. Углы параллелограмма

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма двух соседних углов равна $180^\circ$. Однако нужно учитывать дополнительные условия из задачи.

Расположение точек и свойства:

• $MP = PB = AK$ означает, что точки $B$ и $A$ делят стороны $MH$ и $PK$ так, что соответствующие отрезки равны стороне $MP$.
• $\angle MPB = 60^\circ$ указывает на то, что треугольник $MPB$ является равнобедренным с углом при вершине $P = 60^\circ$. Следовательно, углы при основании $MP$ и $PB$ равны: $$\angle MBP = \angle BMP = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ.$$

Таким образом, $\triangle MPB$ оказывается равносторонним, так как все углы равны $60^\circ$.

Геометрические выводы:

Так как $MPB$ равносторонний, то в параллелограмме:

• $\angle MPK$ равен $120^\circ$, потому что соседний угол $\angle KPM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

По свойствам параллелограмма противоположный угол $\angle KHM$ тоже равен $120^\circ$, а соседние углы $\angle PMH$ и $\angle HMP$ равны $60^\circ$.

Углы параллелограмма:

• $\angle MPK = \angle KHM = 120^\circ$,
• $\angle PMH = \angle HMP = 60^\circ$.

Шаг 2. Сравнение отрезков $BM$ и $AH$

Теперь перейдем к сравнению $BM$ и $AH$.

Свойства:

1. $MP = PB = AK$, то есть:

   • Точка $B$ делит сторону $MH$ на два равных отрезка ($MB$ и $BH$ равны $MP$).
   • Точка $A$ делит сторону $PK$ на два равных отрезка ($PA$ и $AK$ равны $MP$).

2. $\triangle MPB$ равносторонний:

   • $BM$ равно стороне $MP$, так как точка $B$ делит сторону $MH$ на отрезки длины $MP$.

3. Аналогично, $AH$ равно стороне $MP$, так как точка $A$ делит сторону $PK$ на отрезки длины $MP$.

Вывод:

Так как оба отрезка $BM$ и $AH$ равны $MP$, они равны друг другу:

Итог

1. Углы параллелограмма:
   • $\angle MPK = \angle KHM = 120^\circ$,
   • $\angle PMH = \angle HMP = 60^\circ$.
2. Отрезки $BM$ и $AH$ равны: $$BM = AH = MP.$$