Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину

Ответы на вопрос

Отвечает Прусова Ксюша.

Для решения задачи нам нужно найти длину линии пересечения сферы с плоскостью, которая проходит через конец диаметра и наклонена под углом $45^\circ$ к этому диаметру. Линия пересечения сферы и плоскости представляет собой окружность. Найдём её радиус.

Шаг 1: Параметры сферы

Диаметр сферы равен $2 \, \text{м}$ . Это означает, что радиус сферы равен:

R = \frac{2}{2} = 1 \, \text{м}.

Центр сферы расположен в центре диаметра.

Шаг 2: Геометрия плоскости

Плоскость проходит через конец диаметра, то есть точку на поверхности сферы, находящуюся на расстоянии $R = 1 \, \text{м}$ от центра сферы. Поскольку плоскость наклонена под углом $45^\circ$ к диаметру, она пересекает сферу, образуя окружность.

Шаг 3: Расчёт расстояния от центра сферы до плоскости

Расстояние от центра сферы до плоскости можно найти, проецируя радиус на направление перпендикуляра к плоскости. Если угол наклона плоскости к диаметру составляет $45^\circ$ , то расстояние от центра сферы до плоскости будет равно:

d = R \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \, \text{м}.

Шаг 4: Радиус окружности пересечения

Радиус окружности пересечения $r$ связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости формулой:

r = \sqrt{R^2 - d^2}.

Подставляем значения:

r = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \, \text{м}.

Шаг 5: Длина окружности

Длина окружности $C$ определяется формулой:

C = 2\pi r.

Подставляем значение радиуса:

C = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2} \, \text{м}.

Ответ

Длина линии пересечения сферы с плоскостью равна:

\pi\sqrt{2} \, \text{м}.

Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.