Периметр прямоугольника равен 68,а радиус описанной около него окружности равен 13. Определите площадь прямоугольника

Для решения задачи воспользуемся несколькими геометрическими свойствами прямоугольников и окружностей.

1. Известные данные:

   • Периметр прямоугольника равен 68.
   • Радиус описанной окружности равен 13.

2. Периметр прямоугольника: Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

   $$P = 2(a + b)$$

   где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника. Нам известно, что периметр равен 68, значит:

   $$2(a + b) = 68$$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$a + b = 34$$

3. Радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности связан с длинами сторон прямоугольника через его диагональ. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, то есть:

   $$d = 2r$$

   где $r$ — радиус окружности, а $d$ — диагональ прямоугольника. Поскольку радиус окружности равен 13, то диагональ:

   $$d = 2 \times 13 = 26$$

4. Связь диагонали и сторон прямоугольника: Диагональ прямоугольника можно выразить через его стороны с помощью теоремы Пифагора:

   $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

   Так как $d = 26$, то:

   $$\sqrt{a^2 + b^2} = 26$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$a^2 + b^2 = 26^2 = 676$$

5. Система уравнений: Мы имеем систему из двух уравнений:

   $$a + b = 34$$ $$a^2 + b^2 = 676$$

6. Решение системы уравнений: Чтобы найти $a$ и $b$, из первого уравнения выразим одну переменную через другую. Например, $b = 34 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$a^2 + (34 - a)^2 = 676$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 + (34^2 - 2 \times 34 \times a + a^2) = 676$$

   Упростим:

   $$a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676$$ $$2a^2 - 68a + 1156 = 676$$

   Переносим 676 на левую сторону:

   $$2a^2 - 68a + 480 = 0$$

   Разделим всё на 2:

   $$a^2 - 34a + 240 = 0$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-34)^2 - 4 \times 1 \times 240 = 1156 - 960 = 196$$

   Корни уравнения:

   $$a = \frac{-(-34) \pm \sqrt{196}}{2 \times 1} = \frac{34 \pm 14}{2}$$

   То есть:

   $$a = \frac{34 + 14}{2} = 24 \quad \text{или} \quad a = \frac{34 - 14}{2} = 10$$

7. Определим стороны прямоугольника: Если $a = 24$, то $b = 34 - 24 = 10$, и наоборот, если $a = 10$, то $b = 34 - 10 = 24$.

8. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как:

   $$S = a \times b$$

   Подставляем значения:

   $$S = 24 \times 10 = 240$$

Ответ: Площадь прямоугольника равна 240 квадратных единиц.