ДАН ПАРАЛЛЕЛОГРАММ АВСД. Найдите сумму векторов АВ и АД

Для того чтобы найти сумму векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AD}$, рассмотрим, что мы имеем параллелограмм ABCD.

1. Определения и свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, $\mathbf{AB} \parallel \mathbf{DC}$ и $\mathbf{AD} \parallel \mathbf{BC}$, а также $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$ и $\mathbf{AD} = \mathbf{BC}$.

2. Представление векторов через координаты: Допустим, что у нас есть координаты точек $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$, $D(x_4, y_4)$. Тогда векторы $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AD}$ можно записать как разности координат:

   $$\mathbf{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$ $$\mathbf{AD} = (x_4 - x_1, y_4 - y_1)$$

3. Сумма векторов: Чтобы найти сумму векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AD}$, просто складываем их координаты:

   $$\mathbf{AB} + \mathbf{AD} = (x_2 - x_1 + x_4 - x_1, y_2 - y_1 + y_4 - y_1)$$

   Это упрощается до:

   $$\mathbf{AB} + \mathbf{AD} = (x_2 + x_4 - 2x_1, y_2 + y_4 - 2y_1)$$

4. Геометрический смысл суммы векторов: Сумма векторов $\mathbf{AB} + \mathbf{AD}$ является вектором, который направлен от точки $A$ и соединяет её с точкой $C$, то есть это вектор $\mathbf{AC}$. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то $\mathbf{AC}$ — это диагональ параллелограмма, проходящая через его вершину $A$.

Таким образом, сумма векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AD}$ равна вектору $\mathbf{AC}$, который является диагональю параллелограмма.