Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а периметр 28. Найдите площадь трапеции.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нам нужно сначала вычислить её высоту. Для этого воспользуемся данными, что основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а периметр составляет 28.

Шаг 1: Нахождение длины боковых сторон

Обозначим:

• $a = 5$ — длина меньшего основания,
• $b = 11$ — длина большего основания,
• $P = 28$ — периметр.

Периметр трапеции равен сумме всех её сторон. У нас есть два основания и две боковые стороны (обозначим их как $c$, так как боковые стороны равны). Тогда можно записать уравнение для периметра:

Подставляем известные значения:

Решаем это уравнение:

Таким образом, длина боковой стороны $c = 6$.

Шаг 2: Нахождение высоты трапеции

Для нахождения высоты трапеции используем теорему Пифагора. Проведем перпендикуляр от верхнего основания (длины 5) к нижнему основанию (длины 11). Этот перпендикуляр будет являться высотой трапеции, а расстояние между проекциями концов верхнего основания на нижнее основание будет равно $11 - 5 = 6$. Поскольку трапеция равнобедренная, расстояние между проекциями концов верхнего основания делится на два равных отрезка. Таким образом, каждый отрезок будет иметь длину $\frac{6}{2} = 3$.

Теперь можно рассматривать прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза $c = 6$ — боковая сторона трапеции,
• один катет $3$ — половина разности оснований,
• второй катет $h$ — высота трапеции.

Применим теорему Пифагора:

Таким образом, высота трапеции $h = 3\sqrt{3}$.

Шаг 3: Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

Подставляем известные значения:

Таким образом, площадь трапеции равна $24\sqrt{3}$ квадратных единиц.