В треугольнике Авс угол В =90°, АВ =24, cos C =4/5​

Давайте подробно разберём задачу. У нас есть прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где угол $B = 90^\circ$, катет $AB = 24$, а $\cos C = \frac{4}{5}$. Нужно найти недостающие элементы треугольника.

Дано:

1. $\angle B = 90^\circ$;
2. $AB = 24$ (катет, противолежащий углу $C$);
3. $\cos C = \frac{4}{5}$.

1. Используем свойства косинуса

Для угла $C$:

Прилежащим катетом к углу $C$ является $BC$, а гипотенузой $AC$. Подставим:

Согласно условию, $\cos C = \frac{4}{5}$, поэтому:

Отсюда следует, что гипотенуза $AC$ в 5 раз больше одного "долевого" отрезка, а $BC$ составляет 4 таких долевых отрезка. Введём $x$ как "долевой" отрезок:

2. Найдём $x$ с использованием теоремы Пифагора

По теореме Пифагора:

Подставим выражения для сторон:

Раскроем скобки и упростим:

Перенесём $16x^2$ в правую часть:

Найдём $x^2$:

Найдём $x$:

3. Найдём стороны треугольника

Теперь можем вычислить $BC$ и $AC$:

Итоговые значения:

1. $AB = 24$;
2. $BC = 32$;
3. $AC = 40$.

Проверка:

Подставим в теорему Пифагора:

Посчитаем:

Верно! Значит, расчёты корректны.

Ответ:

Катеты $AB = 24$, $BC = 32$, гипотенуза $AC = 40$.