В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке F. Известно, что угол AFE=66 и AF=FC. Найдите меру угла BAC.

Давайте разберем задачу по шагам.

Условие задачи

1. В треугольнике $\triangle ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$, которые пересекаются в точке $F$.
2. Известно:
   • $\angle AFE = 66^\circ$,
   • $AF = FC$.
3. Требуется найти меру угла $\angle BAC$.

Шаг 1: Свойства точек и углов

1. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Значит, $F$ — ортОцентр треугольника $\triangle ABC$.
2. $AD$ и $CE$ — высоты, поэтому они образуют прямые углы с противоположными сторонами:
   • $\angle ADE = 90^\circ$,
   • $\angle CFE = 90^\circ$.
3. Условие $AF = FC$ говорит о том, что точка $F$ делит $AC$ пополам, то есть $F$ — середина отрезка $AC$.

Шаг 2: Свойства углов

1. Рассмотрим угол $\angle AFE = 66^\circ$. Этот угол образован двумя высотами, которые пересекаются в ортОцентре.
2. Задача требует найти угол $\angle BAC = \alpha$. Обозначим его как $\alpha = \angle BAC$.

Шаг 3: Геометрические свойства равнобедренного треугольника

1. Поскольку $AF = FC$, треугольник $AFC$ является равнобедренным.
2. Угол при вершине $F$, то есть $\angle AFE = 66^\circ$, является внутренним углом равнобедренного треугольника.
3. Углы при основании $\angle AFC$ и $\angle CAF$ равны. Обозначим их через $x$.

Шаг 4: Выражение углов в треугольнике

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $$\angle AFE + \angle AFC + \angle CAF = 180^\circ.$$ Подставляем известные значения: $$66^\circ + x + x = 180^\circ.$$
2. Решаем уравнение: $$2x = 114^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 57^\circ.$$ Значит, $\angle AFC = \angle CAF = 57^\circ$.

Шаг 5: Угол $\angle BAC$

1. В треугольнике $\triangle ABC$, угол $\angle BAC$ равен $\angle CAF$ (так как высота $CE$ не влияет на углы у основания равнобедренного треугольника).
2. Следовательно: $$\angle BAC = 57^\circ.$$

Ответ:

Мера угла $\angle BAC = 57^\circ.$